Distribución Normal, Distribución Gamma, Distribución Beta y Cuadro comparativo de las Distribuciones Gamma, Beta, Normal, Binomial, Poisson

 1. Distribución Normal

Historia:

Está comprobado que la distribución normal es la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Además, dicha distribución adapta una variable aleatoria continua a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria continua tendrán la misma representación, pero con ligeras diferencias. Asimismo, es importante acotar que fue descubierta, como aproximación de la distribución binomial, por Abraham De Moivre (1667-1754) y publicada en 1733 en su libro The Doctrine of Chances; tiempo después los resultados de Abraham fueron ampliados por Pierre-Simón Laplace (1749-1827), en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema De Moivre-Laplace. Además, Laplace se sirvió de la distribución normal para analizar los errores de experimentos. 

No obstante, el motivo por el cual esta distribución es muy conocida como distribución Gaussiana, es gracias a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y la publicación de su libro sobre el movimiento de los cuerpos celestes donde asumía errores normales. Por otra parte, el nombre de campana proviene del matemático francés Esprit Jouffret que empleó el término bell surface (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes.

 Los que le atribuyeron el nombre de «distribución normal» fueron los científicos Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.

Definición

La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (µ) y la desviación estándar o desviación típica (σ). Su función de densidad es simétrica respecto a la media y la desviación estándar nos indica el mayor o menor grado de apertura de la curva que, por su aspecto, se suele llamar campana de Gauss. Esta distribución nos da la probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una medida contenida en unos intervalos definidos. Esto permitirá predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo los datos del presente.

Distribución normal estándar N(0,1):

Esta distribución se denota por N(µ,σ). Cuando la distribución normal tiene como parámetros µ = 0 y σ = 1 recibe el nombre de distribución normal estándar. La probabilidad de la variable X dependerá del área bajo la curva. Y para calcularla se debe usar la siguiente tabla:

Tabla estadística:

Tipificación de la variable:

Cualquier variable X que siga una distribución normal de parámetros µ y σ se puede transformar en otra variable 𝑧 = (X−µ)/σ.

Que sigue una distribución normal estándar; este proceso se denomina estandarización, tipificación o normalización.

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales:

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k). Φ(k) = P(z ≤ k).

La media y la varianza:

Campo de variación: -∞ < x < ∞

Parámetros:

µ: media, -∞ < µ < ∞

σ:desviación estándar, σ > 0

Ejercicio

En Maracay, Edo. Aragua se estima que la temperatura máxima en el mes de abril sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

2. Distribución Gamma

Historia

Su aparición se debe cuando Leonard Euler (1707-1783) escribió una carta a Christian Goldbach en el año de 1729 en la que hacía referencia a una función. Posteriormente Adrián María Legendre (1725-1833) propuso llamar esta función gamma.

Función Gamma

Es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. Fue presentada, en primera instancia, por Leonard Euler entre los años 1730 y 1731. La función gamma se define,

Definición

Es una distribución de probabilidad continua adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias con asimetría positiva y/o los experimentos en donde está involucrado el tiempo.

Una variable aleatoria X tiene una distribución gamma y se conoce como variable aleatoria gamma, si y solo si su función de densidad está dada por:

Como se mencionó anteriormente, es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, α y β de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función gamma 

, responsable de la convergencia de la distribución.

La media 𝑬(𝑿) y varianza 𝑽𝒂𝒓(𝒙): 

Ejercicio:

En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica en millones de kilovatios por hora puede considerarse como una variable aleatoria con distribución gamma de parámetros α=3 y β=0.5.

La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad de 10 millones de Kv/h.

¿Cuál es la posibilidad de que este abastecimiento sea?

a) insuficiente en un día cualquiera

b) se consuma entre 3 y 8 millones de Kw/h

c) encuentre E(x) y V(x)

3. Distribución Beta

Historia:

 La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribución binomial. Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribuciones empíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetros de forma αα y ββ, mediante los que viene definida la distribución. Su origen en un trabajo de Ballestero en 1973, relacionado con un método utilizado en la Teoría General de Valoración, denominado, por Ballestero y Caballer (1982), método de las dos distribuciones beta. Este método se ha extendido a otros tipos de distribuciones, tales como la triangular y uniforme, Romero (1977), a la distribución trapezoidal (Herrerías, García, Cruz y Herrerías (2000)), y a la distribución trapezoidal CPR Callejón, Pérez, Ramos (1996) utilizada por García, Evangelista y Gómez (1999). Esta subfamilia puede emplearse, con ventajas evidentes, en el método PERT para ajustar la distribución básica, debido a que es triparamétrica y amplía el marco de subfamilias de distribuciones beta usadas en el método PERT, junto con las de varianza constante y mesocúrticas, introducidas por Herrerías, Pérez, Callejón y Herrerías (1999).

Definición:

Una extensión de la distribución uniforme es la distribución beta. Primero definiremos una función beta:

Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros que denominamos a y b, y estos serán parámetros reales, donde x ϵ 0; 1 y su función de densidad dentro de este intervalo viene dado por:  

Para 0<x<1, en otro caso será f(x)=0 Campo de variación: 0≤x≤1 :

Parámetros:

α: parámetro de forma,α>0

β: parámetro de forma,β>0

La media y varianza:

Cuadro comparativo de las Distribuciones Gamma, Beta, Normal, Binomial, Poisson

Bibliografia:

https://www.sergas.es/Saude-publica/Documents/1899/Ayuda_Epidat_4_Distribuciones_de_probabilidad_Octubre2014.pdf

http://www5.uva.es/estadmed/probvar/d_univar/d_univar9.htm

Autora: 

Mayerlin Diaz 

C.I.: 27.611.304

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