Función de distribución de probabilidad, esperanza y varianza matemática, Distribución bidimensional, Distribución Binomial y Distribución de poisson

 Función de distribución de probabilidad, esperanza y varianza matemática

Esperanza matemática o media

Es una medida de tendencia central que se emplea para designar mediante un solo valor a una colección de elementos y se representa por µ

Varianza

Es una medida de dispersión que se emplea para indicar que tan cercanos de la media se encuentran los elementos de la colección y se representa por σ. Si la varianza es cero, entonces los elementos coinciden con la media; mientras mayor sea la varianza, mayor dispersión.

 

Ejemplo: Calcular la esperanza matemática, la varianza de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

Distribución bidimensional:

Sobre una población se observan simultáneamente dos variables X e Y. La distribución de frecuencias bidimensional de (X,Y) es el conjunto de valores

{(xi, yj);nij} i=1, …, p; j=1, …,q tal que

Donde nij es la frecuencia absoluta conjunta o total de elementos en la población que presenta el valor bidimensional (xi, yj). La frecuencia relativa conjunta fij es la proporción de elementos en la población que presenta el valor (xi, yj).

Ejemplo: Medimos el peso y la estatura de los alumnos de una clase y obtenemos los siguientes resultados:

Esta información se puede representar de un modo más organizado en la siguiente tabla de correlación:

Tal como se puede ver, en cada casilla se recoge el número de veces que se presenta conjuntamente cada par de valores (x,y).

 Tal como vimos en las distribuciones unidimensionales si una de las variables (o las dos) presentan gran número de valores diferentes, y cada uno de ellos se repite en muy pocas ocasiones, puede convenir agrupar los valores de dicha variable (o de las dos) en tramos.

Distribución Binomial: Esta describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados, éxitos o fracaso, siendo el éxito nuestra variable aleatoria. La fórmula es la siguiente:

Dónde:

Ø P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p

Ø n = tamaño de la muestra

Ø p = probabilidad de éxito

Ø 1 – p = probabilidad de fracaso

Ø X = número de éxitos en la muestra ( X = 0, 1, 2, …….. n) 

Requisitos:

Ø El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Ø En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados (éxito o fracaso, defectuoso o no defectuoso).

Ø La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo permanece constante.

Ø La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo permanece constante.

Ø La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo permanece constante.

 

Ejemplo:

Considere un experimento binomial con 10 ensayos y p = 0,9.

Calcular:

a) La Probabilidad de obtener 9 éxitos.

b) La Probabilidad de obtener 9 o más éxitos.

Solución:

n=10

p=0,9 (probabilidad de éxito)

X=nº de éxitos en “n” ensayos.

X=nº de éxitos en 10 ensayos

X B (10 ; 0,9) x=0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

a) f(9)=P(X=9) = (10 9) 0,9^9 (1-0,9)^10-9

(10 9) = 10!/(9!(10-9)!) = 10* 9!/9! 1! = 10/1=10

f(9)=P(X=9) = 10* (0,9)^9*(0,1)^1

f(9)=P(X=9) = 0,3874 = 38,74%

b) P(X ≥9)= P(X=9)+P(X=10)

f(10)=P(X=10) = (10 10) 0,9^10 (1-0,9) ^10-10

(10 10)=10!/10!(10-10)!= 10!/10! 1= 1

f(10)=P(X=10) =1*(0,9)^10*(0,1)^0

f(10)=P(X=10) =0,3487

P(X ≥9)=0,3874+0,3487

P(X ≥9)=0,7361=73,61%

  Distribución de poisson: Se expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de que ocurra un suceso con probabilidades muy pequeñas.

La función de densidad está definida así:

Requisitos:

·         La probabilidad de que el fenómeno no ocurra en un intervalo de longitud 0 es 1.

·         El número de ocurrencias en dos intervalos que no se solapan es independiente.

·         La probabilidad de que se produzcan un número dado de ocurrencias en un intervalo depende de la longitud del intervalo pero no de su localización.

·         Para intervalos pequeños, la probabilidad de que se produzca exactamente una ocurrencia se puede considerar proporcional a la longitud del intervalo.

·         Para intervalos pequeños, la probabilidad de que se produzca más de una ocurrencia tiende a cero más rápido que la longitud del intervalo.

Ejemplos:

1. Cierta enfermedad tiene probabilidad de ocurrir p = 1/ 100000, lo cual en medicina se denomina prevalencia. Calcula la probabilidad de que en una ciudad de 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. ¿Cuál sería en dicha ciudad el número de enfermo esperado?

 

Solución:

El problema se podría abordar mediante una B (500.000, 0,00001) calculando:

λ = 500.000 * 0,00001= 5

p(x > 3) = 1 – p(x ≤ 3)

1 – [p (x= 0) + p(x = 1) + p(x=2) + p(x=3)] =

1- (e ^ -5 * 5^0 / 0!) – (e^-5* 5^1 / 1!) – (e^-5* 5^2 / 2!) – (e^-5*5^3 / 3!)= 0,735

2. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba:

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

 a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3,....., etc, etc.  = 6 cheques sin fondo por día  = 2.718

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3,......, etc., etc. λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: λ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Bibliografía: 

Øhttps://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInferencia/VAdiscreta/4_1DistribucionHipergeometrica/index.html

Ø https://www.ecured.cu/Distribuci%C3%B3n_normal

Ø https://www.ecured.cu/Distribuci%C3%B3n_binomial

Ø http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/poisson.html

Ø https://psicologiaymente.com/cultura/distribucion-normal

Ø https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U01_L2_T3_text_final_es.html

Øhttps://www.aulafacil.com/cursos/estadisticas/gratis/distribuciones-bidimensionales-l11222#:~:text=Las%20distribuciones%20bidimensionales%20son%20aquellas,una%20gama%20de%20coches%20deportivos

Autor: 

Faisher Garcia

C.I.: 28.456.468

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