Experimento Aleatorio, Espacio Muestral, Probabilidad y Distribución de Probabilidad.

 Experimento aleatorio

Cuando se lleva a cabo un experimento, si los resultados del mismo se pueden de alguna manera predecir con total seguridad diremos que el experimento es determinístico. Más sin embargo, si los resultados no se pueden predecir, se dice que el experimento es aleatorio.

 Un experimento aleatorio es aquél que si se repite en las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Es decir las leyes que rigen la experiencia son las leyes del azar.

Nota: Azar, palabra de origen árabe, que en latín se traduce por casus, que significa casualidad.

Ejemplos de experimentos aleatorios: Pueden ser desde un lanzamiento de dados, hasta jugar con una ruleta de la fortuna.

•        Lanzamiento de un dado de seis caras: Al lanzar un dado no tenemos certeza de cual número nos saldrá, por más que anhelemos un número en específico todo dependerá del azar. En este caso nos puede salir (1, 2, 3, 4, 5 o 6).
•       Lanzamiento de moneda: al igual que en el dado todo depende del azar ya que en este caso nos puede salir, “cara” o “sello”.
• .       Sacar de una caja una pelota donde hay: una pelota Verde, una pelota amarilla y una pelota negra.
•        Elegir un número para la lotería entre el 1 al 100.

Espacio muestral.

Es el conjunto formado por todos los posibles resultados elementales de un experimento aleatorio. Se denota habitualmente con la letra S o la letra E.

En este espacio podemos obtener todos los resultados de un experimento aleatorio.

Siguiendo los ejemplos anteriores los resultados serían:

•  Lanzar un dado de seis caras: S={1 , 2, 3, 4, 5, 6}
•  Lanzar una moneda: S={Cara, Sello}
•  Sacar de una caja una pelota: S={Pelota Verde, Pelota Amarilla, Pelota Negra}
•  Elegir un número de la lotería del 1 al 100: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 11,

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. 31,

32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51,

52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71,

72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91,

92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}.

•  Que salga el numero 0: S= Ø (VACIO)

Probabilidad

La probabilidad es el cálculo que evalúa las posibilidades de que algo suceda cuando interviene el azar.

Cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces y se desea conocer la probabilidad de la misma, podemos conseguirlo al dividir el número de veces que ocurre el evento A entre el número de veces que se repitió el experimento, el valor resultante se le llamara: probabilidad de que ocurra el evento A, o probabilidad del evento A ‘‘P(A)’’.

La fórmula principal nos quedaría como:

P(A)= N° de veces que ocurra el evento/ N° de veces que se repitió el experimento.

Hay que tener en cuenta las siguientes propiedades:

1.       Para cada evento A se cumple que: 0 ≤ P(A) ≤ 1, es decir que la probabilidad de que ocurra un evento A es entre los números 0 y 1.

2.       La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0, es decir, P(E) = 1, P(ø) = 0.

3.       Si A y B son incompatibles, es decir A ∩ B = ∅ entonces: P(A∪B) = P(A) + P(B).

4.       La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: P(A ̅) = 1 - P(A)

5.       La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6.       La probabilidad del evento condicionado B|A viene dada por la fórmula: P(B|A): P(A∩B)/P(A), cuando P(A) ˃ 0.

7.       Solo si A y B son independientes entre si P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

   Ejemplos:

1)      Si la probabilidad que un evento A ocurra es de 0,6 y la que ocurra B es 0,7.  ¿Cuál es la probabilidad que ocurran ambos, si siempre ocurre uno  o el otro?

Solución:

Se desea calcular la probabilidad del evento: A∩ B. Ahora el evento A∪B es seguro, ya que tiene que ocurrir A o B, es decir A∪B es el evento seguro, o sea A∪B = E. Por lo tanto: P(A∪B) =1. Por otra parte sabemos que: P(E)= P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Reemplazando datos, tenemos:

1 = 0,6 + 0,7 - P(A∩B)

Despejando nos queda:                             1 = 1,3 - P(A∩B)

      Reordenando:                                           P(A∩B) = 1,3 – 1

P(A∩B) = 0,3. La Probabilidad de que ocurran ambos, si siempre ocurre uno el otro es de 0,3. Expresando en porcentaje seria un 30%.

2)      Tenemos una caja con 3 bolas rojas y 5 verdes. Si extraemos una bola la devolvemos y extraemos la segunda, ¿los resultados de cada extracción son independientes? Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

a)      Que la primera y segunda bola sean rojas

b)      Que ambas sean verdes

c)       Que la primera sea roja y la segunda verde

d)      Que la primera sea verde y la segunda roja

e)      Que una sea roja y la otra verde

Solución:

Si extraemos una bola y la regresamos a la caja. Las condiciones para la segunda extracción son iguales que en la primera, y los resultados de la segunda no dependen de la primera, es decir ambos resultados son independientes.

Sea A₁ el evento ‘‘que la primera bola extraída sea roja’’

Sea A₂ el evento ‘‘que la segunda bola extraída sea roja’’

Sea B₁ el evento ‘‘que la primera bola extraída sea verde’’

Sea B₂ el evento ‘‘que la segunda bola extraída sea verde’’

a)      Queremos calcular: P (A₁ ∩ A₂)

Como A₁ y A₂ son independientes, tenemos:

P (A₁∩ A₂) = P (A₁) *P (A₂) =3/8*3/8=9/64

b)      P (B₁ ∩ B₂) = P (B₁) *P (B₂) = 5/8*5/8=25/64

c)       El evento es A₁ ∩ B₂ o sea: P (A₁∩B₂) = P (A₁) *P (B₂) = 3/8*5/8=15/64

d)      El evento es B₁∩ A₂ Luego: P(B₁∩A₂) = P (B₁) *P (A₂) = 5/8*3/8=15/64

e)      ‘‘Que una sea roja y la otra verde’’ es el evento:

A = (A₁∩B₂) ∪(B₁∩ A₂); Ya que puede salir roja y verde, o verde y roja.

Luego: P(A) = P[(A₁∩B₂)∪(B₁∩A₂)] = P(A₁∩B₂) + P(B₁∩A₂)

P(A)= P (A₁) *P (B₂) + P (B₁) *P (A₂)

P(A)=  3/8*5/8 + 5/8*3/8=15/32

Distribución de probabilidad:

Se considera como distribución de probabilidad a una lista, donde está representada por todos los resultados probables que puedan ocurrir en un experimento determinado.

Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda. En este acontecimiento, tenemos como posibles resultados: Cara o sello, y las respectivas probabilidades son: si cae cara 0.5 (1/2) o si cae sello 0.5 (1/2).

Como podemos notar, si tomamos las probabilidades de ocurrencia de los resultados de un acontecimiento y los sumamos siempre nos debe dar 1. Así mismo todos los acontecimientos tienen variables aleatorias (características medibles), éstas pueden ser de tipo continua o discreta.

Las variables discretas son aquellas de la cuales podemos contar los resultados que se obtenga, en caso diferente de las continuas que tienen un numero incontable de resultados pero limitado.

Entre los tipos de Distribuciones se encuentran las distribuciones discretas y las distribuciones continuas. En las Distribuciones discretas tenemos:

·         Distribución Uniforme discreta

·         Distribución Binomial

·         Distribución Hipergeometrica

·         Distribución Geométrica

·         Distribución Binomial Negativa

·         Distribución de Poisson

Y en las Distribuciones Continuas están:

·         Distribución Uniforme

·         Distribucion normal

·         Distribución Lognormal

·         Distribución Logistica

·         Distribución Beta

·         Distribución Gamma

·         Distribución Exponencial

·         Distribución Ji-cuadrado

·         Distribución t de student

·         Distribución F de Snedecor

       

       Autora: Maria Gomes C.I.: 27.369.066

    Mi video explicativo:

 Bibliografía

Matemática de 8º grado – Héctor Pantoja.

http://www.scian.cl/mmb/probabilidades.pdf